Gjør oppgaven før du ser på videoen.

Figurtall

Kvadrattallene kalles kvadrattall fordi de kan organiseres som kvadrater.

Alle kvadrattall kan formes som kvadrater, og de er derfor et godt eksempel på figurtall.

Som du ser så finnes det uendelig mange kvadrattall, og jeg er sikker på at du kan regne dem ut. Hvordan skal du finne kvadrattall nr 10? Vel, det må være 10 ganger 10, altså 100. Hva med kvadrattall nr 100? Det må bli 100 ganger 100, altså 10 000. Hva sier du da hvis jeg ber deg om å finne kvadrattall nr n?

Selv om n er en bokstav, og ikke har en konstant verdi som et tall, så betyr ikke det at vi ikke kan regne med den. Vi behandler den som en hvilken som helst verdi, og da blir kvadrattall nr n det samme som n ganger n, altså n². Vi skriver det slik:
K(n)=n\cdot n=n^2
Fint, ikke sant?

Det finnes mange andre former for figurtall. La oss se på en som kalles rektangeltall. Denne er veldig lik kvadrattall, men nå er den ene siden av figuren en lenger enn den andre. Det betyr:

  • Kvadrattall nr 3 er det sammen som 3 ganger 3
  • Rektangeltall nr 3 blir da 3 ganger 4 (altså et rektangel)
Et annet eksempel på figurtall. Rektangeltallene kan alle formes som rektangler

La oss regne ut noen rektangeltall. Hva blir R(5)? Hva blir R(10)? Hva blir R(100)? Regn dem ut i hodet eller på kalkulator, og sjekk svarene dine ved å trykke på knappen under.

Hva nå hvis vi bruker generelle verdier istedet for tall? Hva blir rektangeltall nr n? Vel, vi skal gange n med en verdi som er 1 større enn n. Utregningen blir da:
R(n)=n \cdot (n+1)=n(n+1)=n^2+n
Denne formelen kan du jo bare sjekke. Rektangeltall nr 4 blir 4*4+4, altså 16+4 som blir 20, og det stemmer.

Det siste figurtallet vi skal se på heter trekanttall. Dette er verdier som kan organiseres i trekanter. Bruk litt tid til å studere bildet under.

Trekanttall er figurtall som danner et mønster som vi kan finne igjen i flere sammenhenger

Her ser du bilder av de fire første trekanttallene. Klarer du å se en sammenheng med de 4 første rektangeltallene? Hvis du ikke ser det med en gang, så sjekk bildet under.

Hva skjer med rektangeltallene når vi deler dem på midten?

Nettopp. Trekanttallene er alltid halvparten av rektangeltallene. Dette kan vi utnytte nå vi skal finne et mønster for trekanttall nr n.
T(n)=\frac{R(n)}{2}=\frac{n^2+n}{2}

Oppgave

Gauss var bare ni år gammel da han ble bedt om å summere alle tallene fra 0 – 100 av læreren sin. Kan du finne en sammenheng mellom denne oppgaven og noen av figurtallene vi har sett på over? Når du finner sammenhengen, så kan du vel raskt regne ut summen av alle tall fra 0 til 1000.